2018-2019学年高中数学人教A版必修五课件:第一章 解三角形1.2.1

发布于:2021-06-19 04:52:39

第1课时 距离问题 1.复*巩固正弦定理、余弦定理. 2.能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题. 1.正弦定理 (1)定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 = = . sin sin sin (2)应用:利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题: ①已知两角与一边,解三角形; ②已知两边与其中一边的对角,解三角形. 【做一做1】 在△ABC中,a=4,b=3,A=30°,则sin B等于( 1 3 3 A.1B. C. D. 2 8 4 ). 答案:C 2.余弦定理 (1)定理:三角形中任何一边的*方等于其他两边的*方的和减去 这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C. (2)推论:cos A= +2-2 , cos 2 2 = 2 +2 - 2 2 , cos = 2 + -2 . 2 2 (3)应用:利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题: ①已知三边,解三角形; ②已知两边及其夹角,解三角形. 【做一做 2】 在△ABC 中,AB=3,BC= 13, = 4, 则 = . 答案:60° 3.基线 在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.在测量 过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的 精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 距离问题的处理方法 剖析(1)测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距 离问题.如图所示. 这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题,用正 弦定理就可解决. (2)测量两个不可到达的点A,B之间的距离问题.如图所示. 首先把求不可到达的两点A,B之间的距离转化为应用余弦定理求 三角形的边长问题,然后把求B,C和A,C的距离问题转化为测量可到 达的一点与不可到达的一点之间的距离问题. 名师点拨距离测量问题是基本的测量问题.在初中曾经学*过应 用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量, 这里涉及的测量问题是不可到达点的测距问题,要注意问题的差异. 题型一 题型二 测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题 【例1】 如图,在河岸边有一点A,河对岸有一点B,要测量A,B两点 之间的距离,先在岸边取基线AC,测得AC=120 m,∠BAC=45°, ∠BCA=75°,求A,B两点间的距离. 分析在△ABC中利用正弦定理求出AB即可. 解在△ABC中,AC=120 m,A=45°,C=75°, 则B=180°-(A+C)=60°. 由正弦定理, 得 sin AB=AC· sin 120sin75° = = sin60° 20(3 2 + 6)(m). 答:A,B 两点间的距离为 20(3 2 + 6)m. 题型一 题型二 反思如图,设A(可到达),B(不可到达)是地面上两点,要测量A,B两 点之间的距离,步骤是: (1)取基线AC(尽量长),且使AB,AC不共线; (2)测量AC,∠BAC,∠BCA; (3)用正弦定理解△ABC,得 AB= sin sin = sin . sin(180° --) 题型一 题型二 【变式训练1】 在一次夏令营活动中,同学们在相距10 n mile的 A,B两个小岛上活动结束后,有人提出到隔海相望的C岛上体验生活, 为合理安排时间,他们需了解C岛与B岛或A岛间的距离.为此他们测 得从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视 角,那么B岛与C岛之间的距离是多少海里? 解如图, 在△ABC中,∠A=60°,∠B=75°, 则∠C=45°. 由正弦定理,得 解得 BC=5 6(n mile). 答:B 岛与 C 岛之间的距离是 5 6 n mile . = , sin45° sin60° 题型一 题型二 测量两个不可到达的点之间的距离问题 【例 2】 如图,隔河看到两个目标 A,B,但均不能到达,在岸边选取 相距 3 km 的 , 两点, 并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC= 30°,∠ADB=45°(A,B,C,D 在同一*面内),求两个目标 A,B 之间的距 离. 分析要求出A,B之间的距离,把AB放在△ABC(或△ADB)中,但不 管在哪个三角形中,AC,BC(或AD,BD)这些量都是未知的.再把 AC,BC(或AD,BD)放在△ACD,△BCD中求出它们的值. 题型一 题型二 解在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=∠ACB+∠BCD=120°, ∴∠CAD=30° ,∴AC=CD= 3 km. 在△BDC中,∠CBD=180°-(45°+30°+45°)=60°. 在△BCD中,由正弦定理, 得 BC= 3sin75° 6+ 2 = . sin60° 2 在△ABC中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos∠BCA =( 3)2 + 6+ 2 2 2 ?2 3× 6+ 2 cos 75°=5. 2 ∴AB= 5 km. 答:两个目标 A,B 之间的距离为 5 km. 题型一 题型二 反思如图,不可到达的A,B是地面上两点,要测量A,B两点之间的距 离,步骤是: (1)取基线CD; (2)测量CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠BDA; (3)在△ACD中,解三角形得AC;在△BCD中,解三角形得BC; (4)在△ABC中,利用余弦定理得 AB= 2 + 2 -2· · cos∠ . 题型一 题型二 【变式训练2】 在某次军事演*中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为 3 的军事基地和测得蓝方两支精锐部队分别在处和处 , 且∠ 2 ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45

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