微分方程稳定性模型2-3-2

发布于:2021-10-17 05:09:09


1
2

稳定性模型

捕鱼业的持续收获
军备竞赛

3
4

种群的相互竞争
种群的相互依存

5

种群的弱肉强食

稳定性模型
? 对象仍是动态过程,而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——*衡状 态是否稳定。 ? 不求解微分方程,而是用微分方程稳定性 理论研究*衡状态的稳定性。

1
背景

捕鱼业的持续收获

? 再生资源(渔业、林业等)与 非再生资源(矿业等) ? 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。

问题 及 分析

? 在捕捞量稳定的条件下,如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。 ? 如果使捕捞量等于自然增长量,渔 场鱼量将保持不变,则捕捞量稳定。

产量模型 假设

x(t) ~ 渔场鱼量

? 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 x ? (t ) ? f ( x) ? rx(1 ? x ) N r~固有增长率, N~最大鱼量 ? 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex, E~捕捞强度

建模
捕捞情况下 渔场鱼量满足

记 F ( x) ? f ( x) ? h( x)

x ? (t ) ? F ( x) ? rx(1 ? ) ? Ex x N

? 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件

一阶微分方程的*衡点及其稳定性 ? ? F ( x) (1) 一阶非线性(自治)方程 x
F(x)=0的根x0 ~微分方程的*衡点

? x?x ? 0 ? x ? x0 x
0

设x(t)是方程的解,若从x0 某邻域的任一初值出发,

都有

lim x ( t ) ? x , 称x0是方程(1)的稳定*衡点 0 t ??
? ? F ?( x0 )(x ? x0 ) (2) x

不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的*似线性方程

F ?( x0 ) ? 0 ? x0稳定(对(2), (1)) F ?( x0 ) ? 0 ? x0不稳定(对(2), (1))

x ? (t ) ? F ( x) ? rx(1 ? ) ? Ex x N E F ( x) ? 0 x0 ? N (1 ? ), x1 ? 0 r *衡点

产量模型

稳定性判断

F ?( x0 ) ? E ? r, F ?( x1 ) ? r ? E

E ? r ? F ?( x0 ) ? 0, F ?( x1 ) ? 0
E ? r ? F ?( x0 ) ? 0, F ?( x1 ) ? 0
E~捕捞强度

x0稳定, x1不稳定
x0不稳定, x1稳定

r~固有增长率

x0 稳定, 可得到稳定产量

x1 稳定, 渔场干枯

在捕捞量稳定的条件下, 产量模型 图解法 控制捕捞强度使产量最大 F ( x) ? f ( x) ? h( x) y y=rx y=E*x x y=h(x)=Ex f ( x) ? rx(1 ? ) * P hm N P h h( x) ? Ex y=f(x)

?

F ( x) ? 0

f 与h交点P
0 x0*=N/2 x0
N

E ? r ? x0稳定
P的横坐标 x0~*衡点
* * 0

x

P的纵坐标 h~产量

产量最大 P ( x ? N / 2, hm ? rN / 4)

E ? hm / x ? r / 2
* * 0

控制渔场鱼量为最大鱼量的一半

效益模型
假设

在捕捞量稳定的条件下,控制捕捞 强度使效益最大.

? 鱼销售价格p

? 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE

单位时间利润

R ? T ? S ? pEx ? cE

E R( E ) ? T ( E ) ? S ( E ) ? pNE(1 ? ) ? cE r r c r E ? ( 1 ? ) ? E* ? 求E使R(E)最大 R 2 pN 2 2 rN c 渔场 x ? N (1 ? E R ) ? N ? c hR ? (1 ? 2 2 ) R 4 p N 2 2p 鱼量 r

稳定*衡点 x0 ? N (1 ? E / r )

捕捞 ? 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 过度 ? 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
令 E R( E ) ? T ( E ) ? S ( E ) ? pNE(1 ? ) ? cE =0 r

ER ?

r c (1 ? ) 2 pN

c Es ? r (1 ? ) pN

R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量

c Es xs ? N (1 ? )? p r

S(E)

p ?, c ?

Es ?, xs ?
0
ER E*

T(E) Es r E

捕捞过度

2
目的 假设

军备竞赛

? 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 ? 解释(预测)双方军备竞赛的结局 1)由于相互不信任,一方军备越大,另一 方军备增加越快; 2)由于经济实力限制,一方军备越大,对 自己军备增长的制约越大;

3)由于相互敌视或领土争端,每一方都存 在增加军备的潜力。

进一步 1)2)的作用为线性;3)的作用为常数 假设

建模

x(t)~甲方军备数量, y(t)~乙方军备数量

? (t ) ? ??x ? ky ? g x ? (t ) ? lx ? ?y ? h y
?, ? ~ 本方经济实力的制约;
k, l ~ 对方军备数量的刺激;
g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。 军备竞赛的结局 t ? ?时的x(t),y(t)

微分方程的*衡点及其稳定性

? (t ) ? ax ? by 线性常系数 x 的*衡点及其稳定性 微分方程组 y ? (t ) ? cx ? dy

ax ? by ? 0 *衡点P0(x0,y0)=(0,0) ~代数方程 的根 cx ? dy ? 0 若从P0某邻域的任一初值出发,都有 lim x(t ) ? x0 , t ??
lim y ( t ) ? y , 称P0是微分方程的稳定*衡点 0 t ??
?a b ? 记系数矩阵 A ? ? ? c d ? ?

特征方程 det(A ? ?I ) ? 0 特征根

?? ? p? ? q ? 0 ? ? p ? ?( a ? d ) ?q ? det A ?
2

?1, 2 ? (? p ? p ? 4q ) / 2
2

? (t ) ? ax ? by 线性常系数 x 的*衡点及其稳定性 微分方程组 y ? (t ) ? cx ? dy
*衡点 P0(0,0) 特征根

?1, 2 ? (? p ? p ? 4q ) / 2
2

微分方程一般解形式

c1e ? c2e
?1t

?2t

?1,2为负数或有负实部
p>0且q>0
p<0或q<0

*衡点 P0(0,0)稳定
*衡点 P0(0,0)不稳定

军备竞赛
*衡点 稳定性判断 系数 A ? ?? ? ? l 矩阵 ?

? (t ) ? ??x ? ky ? g ?x 模型 ? ? (t ) ? lx ? ?y ? h ?y

kh ? ?g x0 ? , ?? ? kl
k? ??? ?

l g ? ?h y0 ? ?? ? kl
p ? ?(?? ? ? ) ? ? ? ? ? 0 q ? det A ? ?? ? kl

*衡点(x0, y0)稳定的条件

p ? 0, q ? 0

?? ? kl

模型的定性解释

kh ? ?g l g ? ?h , y0 ? *衡点 x0 ? ?? ? kl ?? ? kl 双方军备稳定(时间充分 ?, ? ~ 本方经济实力的制约;
长后趋向有限值)的条件 k, l ~ 对方军备数量的刺激; g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。

? (t ) ? ??x ? ky ? g ?x 模型 ? ? (t ) ? lx ? ?y ? h ?y

?? ? kl

1) 双方经济制约大于双方军备刺激时,军备竞赛 才会稳定,否则军备将无限扩张。 2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 ?? > kl 下 x(t), y(t)?0,

即友好邻国通过裁军可达到永久和*。

模型的定性解释

? (t ) ? ??x ? ky ? g ?x 模型 ? ? (t ) ? lx ? ?y ? h ?y

?, ? ~ 本方经济实力的制约;
k, l ~ 对方军备数量的刺激; g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。 3)若 g,h 不为零,即便双方一时和解,使某时x(t), y(t) 很小,但因 x ? ? 0, y ? ? 0,也会重整军备。 4)即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0, 也会因 x ? ? ky ? g 使该方重整军备, 即存在互不信任( k ? 0 ) 或固有争端( g ? 0 ) 的单方面 裁军不会持久。

3

种群的相互竞争

? 一个自然环境中有两个种群生存,它们之间的 关系:相互竞争;相互依存;弱肉强食。 ? 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相 互竞争时,常见的结局是,竞争力弱的灭绝, 竞争力强的达到环境容许的最大容量。 ? 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程, 分析产生这种结局的条件。

模型假设 ? 有甲乙两个种群,它们独自生存
时数量变化均服从Logistic规律;

? 两种群在一起生存时,乙对甲增长的阻滞作 用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。

x1 ?1 (t ) ? r1 x1 (1 ? ) x N1

x2 ? 2 (t ) ? r2 x2 (1 ? ) x N2

? ? x1 x2 ? x2 ? x1 ?1 (t ) ? r1 x1 ? ?2 (t ) ? r2 x2 ? 模型 x ?1 ? ? 2 N ? N ? ? ?1 ? N ? ? 1 N ? ? x 1 ? ? 1 2 ? 2? 对于消耗甲的资源而 对甲增长的阻滞 ? 1 ? 1 作用,乙大于甲 言,乙(相对于N2)是甲 (相对于N1) 的 ?1 倍。 乙的竞争力强

模型

? x1 x2 ? ?1 (t ) ? r1 x1 ? x ?1 ? N ? ? 1 N ? ? ? 1 2 ?

? x1 x2 ? ?2 (t ) ? r2 x2 ? x ?1 ? ? 2 N ? N ? ? ? 1 2 ?

模型 t ? ?时x (t ), x (t )的趋向 (*衡点及其稳定性) 1 2 分析
(二阶)非线性 (自治)方程

?1 (t ) ? f ( x1 , x2 ) x 的*衡点及其稳定性 ? 2 (t ) ? g ( x1 , x2 ) x
f ( x1 , x2 ) ? 0 g ( x1 , x2 ) ? 0
的根
0 1

*衡点P0(x10, x20) ~ 代数方程

x ( t ) ? x , 若从P0某邻域的任一初值出发,都有 lim 1 t ?? lim x2 (t ) ? x , 称P0是微分方程的稳定*衡点 t ??
0 2

判断P0 (x10,x20) 稳定 性的方法——直接法 (1)的*似线性方程
0 0 0
1

?1 (t ) ? f ( x1 , x2 ) x ?2 (t ) ? g ( x1 , x2 ) (1) x
0 0 0
2

?1 (t ) ? f x ( x1 , x2 )( x1 ? x1 ) ? f x ( x1 , x2 )( x2 ? x2 ) x ? 2 (t ) ? g x ( x1 , x2 )( x1 ? x1 ) ? g x ( x1 , x2 )( x2 ? x2 ) (2) x
0 0 0 0 0 0
1 2

? fx A?? ?gx

1

1

fx ? ? gx ?
2 2

2 ? ? ? p? ? q ? 0

P0

p>0且q>0 *衡点 P0稳定(对2,1)

? ? p ? ?( f x ? g x ) ? ?q ? det A
1 2

P0

p<0或q<0

*衡点 P0不稳定(对2,1)

? x1 x2 ? 模型 ? ? ? x x 1 2 x1 (t ) ? r1 x1 ? ?2 (t ) ? r2 x2 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? x ?1 ? ? 2 ? ? ?

? ? x1 x2 ? ? f ( x1 , x2 ) ? r1 x1 ? ?1 ? N ? ? 1 N ? ??0 ? ? 1 2 ? ? x1 x2 ? ?g ( x , x ) ? r x ? ?1 ? ? 2 ? ? ?0 1 2 2 2? ? ? N1 N 2 ? ? ? *衡点:P 1 ( N1 ,0), P 2 (0, N 2 ),
? N1 (1 ? ? 1 ) N 2 (1 ? ? 2 ) ? P3 ? ? 1?? ? , 1?? ? ? ?, P4 (0,0) 1 2 1 2 ? ?

?

N1

N2 ?

?

N1 N 2 ?

仅当?1, ?2 < 1或?1, ?2 > 1时,P3才有意义

*衡点稳 定性分析

? ? x1 x2 ? ? f ( x1 , x2 ) ? r1 x1 ? ?1 ? N ? ? 1 N ? ? 1 2 ? ? ? ? x1 x2 ? ?g ( x , x ) ? r x ? ? ? ? 1 2 2 2 ?1 ? ? 2 ? ? N N 1 2 ? ? ?

? f x1 A?? ? g x1

? ? 2 x1 ? 1 x2 ? ? 1? ? ?r1 ? ? N1 N2 ? f x2 ? ? ? ? ?? ? g x2 ? ?? r2? 2 x2 N1 ? ?

r1? 1 x1 ? N2

? ? ? ? ? 2 x1 2 x2 ?? ? ? r2 ? 1 ? ? ? ?? N N 1 2 ?? ?

p ? ?( f x1 ? g x 2 ) pi , q ? det A pi , i ? 1,2,3,4
*衡点 Pi 稳定条件: p > 0 且 q > 0

种群竞争模型的*衡点及稳定性
* 衡点

p
r1 ? r2 (1 ? ? 2 )

q
? r1r2 (1 ? ? 2 )

稳定条件

p1 ( N1 ,0)

?2>1, ?1<1

p2 (0, N2 )

? r1 (1 ? ? 1 ) ? r2 ? r1r2 (1 ? ? 1 ) ?1>1, ?2<1

? N1 (1 ? ? 1 ) N 2 (1 ? ? 2 ) ? r1 (1 ? ? 1 ) ? r2 (1 ? ? 2 ) r1r2 (1 ? ? 1 )(1 ? ? 2 ) p3 ? ?1<1, ?2<1 ? 1?? ? , 1?? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 2 1 2 ? 1 2 1 2

p4 (0,0)

? (r1 ? r2 )

r r 1 2

不稳定

P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的*衡点

P3 是两种群共存的*衡点

P1稳定的条件 ?1<1 ?

*衡点稳 定性的相 轨线分析
(1) ?2>1, ?1<1

? x1 x2 ? ?1 (t ) ? r1 x1 ? x ?1 ? N ? ? 1 N ? ? ? 1 2 ? ? x1 x2 ? ?2 (t ) ? r2 x2 ? x ?1 ? ? 2 N ? N ? ? ? 1 2 ?

x1 x2 ? ( x1 , x2 ) ? 1 ? ? ? 1 N1 N2 x1 x2 ? ( x1 , x2 ) ? 1 ? ? 2 ? N1 N 2

x2
N2 / ? 1

S1 : ? ? 0, ? ? 0

S3

N2 S 2

? ?0

?1 ? 0, x ?2 ? 0 S1 : x ?1 ? 0, x ?2 ? 0 S2 : x
?1 ? 0, x ?2 ? 0 S3 : x
P 1

t ? ? x1, x2 ? t ? ? x1 ?, x2? t ? ? x1, x2?

? ?0
0
S1
N1 / ? 2
N1 x1
?

从任意点出发(t=0)的相轨 线都趋向P1(N1,0) (t??)

P1(N1,0)是稳定*衡点

x2
N2 ? P 2
N2 / ? 1

(2) ?1>1, ?2<1
P2 稳定
? ?0

x2
N2 / ? 1

(3) ?1<1, ?2<1
? ?0
?

N2

P 3

P3 稳定
? ?0

? ?0

0
x2
N2
N2 / ? 1
3 ?P

N1

N1 / ? 2 x1

0

N1

N1 / ? 2 x1

P2

? ?0

(4) ?1>1, ?2>1

有相轨线趋向P1 有相轨线趋向P2

P1, P2都不 (局部)稳定

? ?0

P1稳定的条件:直接法?2>1
P1

0

N1 / ? 2

加上与(4)相区别的 ?1<1
x1

N1

P1全局稳定

结果解释

? P1稳定的条件:?1<1, ?2>1
对甲增长的阻滞 作用,乙小于甲 ?乙的竞争力弱

对于消耗甲的资源而言, 乙(相对于N2)是甲(相对 ?1 ? 1 于N1)的?1 倍。

?2>1 ?甲的竞争力强

甲达到最大容量,乙灭绝

? P2稳定的条件:?1>1, ?2<1 ? P3稳定的条件:?1<1, ?2<1 通常?1 ? 1/?2,P3稳定条件不满足

4

种群的相互依存

甲乙两种群的相互依存有三种形式
1) 甲可以独自生存,乙不能独自生存;甲 乙一起生存时相互提供食物、促进增长。 2) 甲乙均可以独自生存;甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。 3) 甲乙均不能独自生存;甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。

模型 ? 甲可以独自生存,数量变化服从Logistic规律; 假设 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。
? 乙不能独自生存;甲乙一起生存时甲为乙 提供食物、促进增长;乙的增长又受到本身 的阻滞作用 (服从Logistic规律)。

? x1 x2 ? ?1 (t1 ) ? r1 x1 ? 模型 x ? ? ? 1 ? 1 ? ? N N 2? 1 ? ?? xx x ? 11 ? 2 ? ? ? x ttt )))? rr xx ? 1 ? ? ? ?22(( ? ? ? x ? ? 1 ? ? 1 ? ? 2r 2x 2 2 22 2 2 ?? ? ? ? N N2 ? N ?? 11 ?

乙为甲提供食物 是甲消耗的?1 倍

甲为乙提供食物 是乙消耗的?2 倍

种群依存模型的*衡点及稳定性
*衡点

p
r1 ? r2 (? 2 ?1)

q
? r1r2 (? 2 ?1)

稳定条件

P ( N1 ,0) 1

? 2 ? 1,? 1? 2 ? 1

? N1 (1 ? ? 1 ) N 2 (? 2 ? 1) ? r1 (1 ? ? 1 ) ? r2 (? 2 ? 1) r1r2 (1 ? ? 1 )(? 2 ? 1) ? 1 ? 1,? 2 ? 1, P2 ? ? 1?? ? , 1?? ? ? ? 1 ? ? 1? 2 1 ? ? 1? 2 ? 1 2 1 2 ? ? 1? 2 ? 1

P3 (0,0)

? r1 ? r2

? r1r2

不稳定

P2是甲乙相互依存而共生的*衡点

*衡点P2稳定 性的相轨线

? N1 (1 ? ? 1 ) N 2 (? 2 ? 1) ? P2 ? ? 1?? ? , 1?? ? ? ? ? ? 1 2 1 2

? x1 x2 ? ? x1 x2 ? ? ?1 (t1 ) ? r1 x1 ? x 1 ? ? ? ? r x ? ( x , x ) ? ? ? ? ? r2 x2? ( x1 , x2 ) 1 1 1 1 2 x2 (t ) ? r2 x2 ? 1 ? ? 2 ? N ? ? ? N N1 N 2 ? ? 1 2 ? ?

?1<1, ?2>1, ?1?2<1
?1 ? 0, x ? 2 ? 0; S1 : x ?1 ? 0, x ? 2 ? 0; S2 : x ?1 ? 0, x ? 2 ? 0; S3 : x ?1 ? 0, x ? 2 ? 0. S4 : x
P2稳定

x2

? ?0
S4
S1

? ?0

?P
S2

2

S3 N1

0

N1 / ? 2

x1

结果 解释

甲可以独自生存

乙不能独立生存

? ? x1 x2 ? x1 x2 ? ?1 (t1 ) ? r1 x1 ? ?2 (t ) ? r2 x2 ? x ?1 ? N ? ? 1 N ? ? x ? ?1 ? ? 2 N ? N ? ? 1 2? ? ? 1 2 ?
? N1 (1 ? ? 1 ) N 2 (? 2 ? 1) ? P2 ? ? 1?? ? , 1?? ? ? ? ? ? 1 2 1 2

P2稳定条件: ?1<1, ?2>1, ?1?2<1

?2>1 ~ 甲必须为乙提供足够的食物—— 甲为乙提供的食物是乙消耗的 ?2 倍

?1?2<1 ~ ?2>1 前提下P2存在的必要条件
?1<1 ~ ?2>1, ?1?2<1 的需要,且?1必须足 够小,才能在?2>1条件下使?1?2<1 成立

5 种群的弱肉强食 (食饵-捕食者模型)
? 种群甲靠丰富的天然资源生存,种群乙靠 捕食甲为生,形成食饵-捕食者系统,如食用 鱼和鲨鱼,美洲兔和山猫,害虫和益虫。 ? 模型的历史背景——一次世界大战期间地中 海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕 捞),但是其中鲨鱼的比例却增加,为什么?

食饵-捕食者模型(Volterra)
食饵(甲)数量 x(t), 捕食者(乙)数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r

? ? rx x
? rx ? axy (1)

乙使甲的增长率减小, x ? (t ) ? (r ? ay) x 减小量与 y成正比 乙独立生存的死亡率 d

? ? ?dy y

甲使乙的死亡率减小, ? (t ) ? ?(d ? bx) y ? ?dy ? bxy (2) y 减小量与 x成正比 a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 方程(1),(2) 无解析解

Volterra模型的*衡点及其稳定性

?(t) ? (r ? ay)x ? rx ? axy x ?(t) ? ?(d ? bx) y ? ?dy ? bxy y
?0 ? ad / b? AP ?? ? br / a 0 ? ?

稳定性分析

?r ? ax ? ax ? A?? ? *衡点 P(d / b, r / a), P?(0,0) ? by ? d ? bx?
p =0, q > 0 P: 临界状态 q<0 P? 不稳定

A P?

?r ?? ?0

0 ? ? d? ?

P点稳定性不能用*似线性方程分析

用数学软件MATLAB求微分方程数值解
t 0 0.1000 0.2000 0.3000 … 5.1000 5.2000 … 9.5000 9.6000 9.7000 x(t) 20.0000 21.2406 22.5649 23.9763 … 9.6162 9.0173 … 18.4750 19.6136 20.8311 y(t) 4.0000 3.9651 3.9405 3.9269 … 16.7235 16.2064 … 4.0447 3.9968 3.9587

x~y *面上的相轨线

食饵-捕食者模型(Volterra)

? (t ) ? (r ? ay) x y x ? (t ) ? ?(d ? bx) y
计算结果(数值,图形)
观察,猜测

x(t), y(t)是周期函数,相图(x,y)是封闭曲线 x(t), y(t)的周期约为9.6

xmax? 65.5, xmin ? 6, ymax ? 20.5, ymin ? 3.9
用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的*均值:

x(t)的*均值约为25, y(t)的*均值约为10。

用相轨线分析

P(d / b, r / a) 点稳定性

? (t ) ? (r ? ay) x x x(r ? ay) 消去dt dx ? ? (t ) ? (?d ? bx) y y dy y (?d ? bx)

? d ? bx r ? ay dx ? dy x y
? d ln x ? bx ? r ln y ? ay ? c1

(x e
取指数

d

?bx

)( y e

r

? ay

)?c

c 由初始条件确定

用相轨线分析

P(d / b, r / a) 点稳定性
f ( x) fm

( x d e?bx )( y r e? ay ) ? c
f ( x)
相轨线

g ( y)

f ( x) g ( y ) ? c
0 g(y) x0 x

在相*面上讨论相轨线的图形

f (0) ? f (?) ? 0, f ( x0 ) ? f m , x0 ? d / b
g (0) ? g (?) ? 0, g ( y0 ) ? gm , y0 ? r / a

gm
y0

0

y

c ? f m g m 时无相轨线

以下设 c ? f m g m

相轨线 f ( x) g ( y ) ? c
f ( x) fm p 0 x 1 x0 x2 x gm q 0 y1 y0 y2 g(y)

y2

y

Q4

Q4

y0 Q1 P Q2 y1 Q3 Q3 y 0 x1 x x 0 x x2 x

c ? fm gm
c ? fm gm

x ? x0 , y ? y0

相轨线退化为P点 P~中心

设c ? pgm 令y ? y0

g ( y ) ? g m f ( x) ? p ? f m
Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)

存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p
考察x ?[ x1 , x2 ]

f ( x) g ( y) ? pgm f ( x) ? p

g ( y) ? q ? g m

存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q
x是[ x1 , x2 ] 内任意点

Q3(x,y1), Q4(x,y2)

相轨线是封闭曲线族

用相轨线分析

P(d / b, r / a) 点稳定性
x(t), y(t)是周期函数(周期记 T)

相轨线是封闭曲线

求x(t), y(t) 在一周期的*均值

? (t ) ? (?d ? bx) y x, y y
? 1 y x(t ) ? ( ? d ) b y

1 x? T

T

? 1 1 y x(t )dt ? ? ( ? d ) dt ? T 0b y 0

T

1 ln y (T ) ? ln y (0) dT ? ( ? ) T b b

x ? d /b
y ?r/a
x ? x0 , y ? y0

?(t) ? (r ? ay)x x
轨线 P( x0 , y0 ) : x0 ? d / b, y0 ? r / a 中心

模型解释

30 25 20 15 10

T3

P(d / b, r / a )
T2
? ? 0,y ? ?0 x

?(t) ? (r ? ay)x x ?(t) ? ?(d ? bx) y y
? , y0 ?) 初值 P0 ( x0

??0 x ??0 y
P

T4
0 0
120 100 80 60 40 20 0 0

5

??0 ? x ? ?0 x ? 0,y ? ? 0 P0 y

?

T1
100 120

相轨线的方向

20

40

60

80

T1 : x(t ) ? y(t ) ?

T2 : x(t ) ? y(t ) ?

x(t) 的“相位”领先 y( t )
x(t)

T3 : x(t ) ? y(t ) ?

y(t)

T4 : x(t ) ? y(t ) ?

T1 2 T2 4 T3

6

8

T410

12

模型解释
捕食者 y ? r 数量 a r ~食饵增长率 a ~捕食者掠取食饵能力

30 25 20 15

P(d / b, r / a )

r/a10
5 0 0 20

P

d/b 40

60

80

100

120

捕食者数量与r成正比, 与a成反比
d 食饵 x? 数量 b

d ~捕食者死亡率 b ~食饵供养捕食者能力

食饵数量与d成正比, 与b成反比

模型 一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降, 解释 但是其中鲨鱼的比例却在增加,为什么? 自然环境 P( x , y ) x ? d / b, y ? r / a
y

捕捞

r?r-?1, d?d+?1

P( x, y)

x1 ? x, y1 ? y P ? P1
战时 捕捞 r?r-?2, d?d+?2 , ?2 < ?1

?

P2 ( x2 , y2 )

?

?

P ( x1 , y1 ) 1
x

x2 ? x1 , y2 ? y1 P 1 ?P 2

食饵(鱼)减少, 捕食者(鲨鱼)增加

P?P 1 还表明:对害虫(食饵)—益虫(捕食者)系统, 使用灭两种虫的杀虫剂, 会使害虫增加,益虫减少。

食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进
多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡, 而是趋向某个*衡状态,即存在稳定*衡点 Volterra模型

?(t ) ? (r ? ay) x x

? (t ) ? ?(d ? bx) y y

改写

? ? x2 ? x1 ? ?1 (t ) ? r1 x1 ? x ?2 (t ) ? r2 x2 ? ?1 ? ? 1 N ? ? x ? ?1 ? ? 2 N ? ? ? 2 ? ? 1 ?
加Logistic项

? x1 ? x2 ? x1 x2 ? ?1 (t ) ? r1 x1 ? x ?2 (t ) ? r2 x2 ? ?1 ? N ? ? 1 N ? ?x ? ?1 ? ? 2 N ? N ? ? ? 1 2 ? ? 1 2 ?

有稳定*衡点

食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进
? 相轨线是封闭曲线,结构不稳定——一旦离开某 一条闭轨线,就进入另一条闭轨线,不恢复原状。 ? 自然界存在的周期性*衡生态系统是结构稳定的, 即偏离周期轨道后,内部制约使系统恢复原状。

? x1 ? x2 ? x1 ? ?1 (t ) ? r1 x1 ? ?2 (t ) ? r2 x2 ? x ?1 ? N ? ? 1 1 ? wx ? ? x ? ? 1 ? ? 2 1 ? wx ? ? 1 1? ? 1? ? 30 r1=1, N1=20, ?1=0.1, 20 w=0.2, r2=0.5, ?2=0.18
相轨线趋向极限环
10 0

结构稳定

0

5

10

15

20

两种群模型的几种形式
相互竞争
? ? x1 x2 ? x1 x2 ? ?1 (t ) ? r1 x1 ? x ?2 (t ) ? r2 x2 ? ?1 ? N ? ? 1 N ? ? x ?1 ? ? 2 N ? N ? ? ? 1 2 ? ? 1 2 ?

相互依存
? x1 x2 ? ? x1 x2 ? ?2 (t ) ? r2 x2 ? ?1 (t1 ) ? r1 x1 ? x ? ?1? ? 2 N ? N ? ? ? ?1? N ? ?1 N ? ? x ? ? 1 2 ? 1 2 ?

弱肉强食
? ? x1 x2 ? x1 x2 ? ?1 (t ) ? r1 x1 ? ?2 (t ) ? r2 x2 ? x ?1 ? N ? ? 1 N ? ? x ? ?1 ? ? 2 N ? N ? ? ? 1 2 ? ? 1 2 ?


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